你实际上有两个问题：
1．介值性（呵呵,你这么称呼未尝不可）与连续性
反例很好找,例如在区间[0,3]上,函数f(x)为：当x≠1及x≠2时,f(x)=x;f(1)=2,f(2)=1.
那么：此函数在[0,3]上满足介值定理,但不连续.
2.此g(x)存在,比如
当x≠0时,g(x)=x^2sin(1/x)；g(0)=0.
则此g(x)在x=0处连续可导,但导函数g'(x)在x=0处不连续.
介值定理就是如我所说这样,你可以把高数书翻开看看.如果你自己定义介值性,如你所说的那样,可以举这个反例:x≠0时,f(x)=sin(1/x),f(0)=0,该函数在包含x=0的区间上满足你说的那个介值性,但它在x=0处不连续.