如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD

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  • (Ⅰ)如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O,

    连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连结PE,

    ∵AD⊥PB,

    ∴AD⊥OB,

    ∵PA=PD,

    ∴OA=OD,于是OB平分AD,点E为AD的中点,

    所以PE⊥AD,

    由此知∠PEB为面PAD与面ABCD 所成二面角的平面角,

    ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°,

    由已知可求得PE=

    ∴PO=PE·sin60°=

    即点P到平面ABCD的距离为

    (Ⅱ)如图,取PB的中点G,PC的中点F,

    连结EG、AG、GF,

    则AG⊥PB,FG∥BC,FG=

    BC,

    ∵AD⊥PB,

    ∴BC⊥PB,FG⊥PB,

    ∴∠AGF是所求二面角的平面角,

    ∵AD⊥面POB,

    ∴AD⊥EG,

    又∵PE=BE,

    ∴EG⊥PB,且∠PEG=60°,

    在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=

    在Rt△PEG中,EG=

    AD=1,

    于是tan∠GAE=

    又∠AGF=π-∠GAE,

    所以所求二面角的大小为π-arctan