Question

不定积分我知道,就是求它导之前得函数.那定积分是什么?说的简单点.书上那种根本理解不了.

Answer 1

定积分,应该比不定积分更好理解才是吧?

因为定积分的思想比不定积分和导数还要早呢

简单来说,不定积分是微分的逆运算,注意是微分,不是导数

微分的原函数就是不定积分：∫ [ƒ'(x) dx] = ƒ(x) + C

导数就是曲线的斜率,这个你知道吧

而不定积分就是这个斜率的原函数,即曲线族,因为曲线的斜率也可以一样的

而定积分,简单来说就是曲线下围成的面积

因为定积分∫(a→b) ƒ(x) dx = lim(n→∞) Δx*Σ(i=1→∞) ƒ(x_i)

简略点理解就是无限个底长为Δx,高为ƒ(x_i)的长方形加起来,结果就越接近ƒ(x)下围成的面积

加上变上限定积分和不定积分的关系：F(x) = ∫(a→x) ƒ(x) dx且F'(x) = ƒ(x)或∫ ƒ(x) dx = F(x) + C

可得定积分和不定积分的关系为∫(a→b) ƒ(x) dx = [F(x)](a→b) = F(b) - F(a)

所以∫(1→√3) 1/[x²√(1 + x²)] dx表达的几何意思就是

曲线函数y = 1/[x²√(1 + x²)]与x轴,x = 1和x = √3所围成的面积

而根据不定积分的变量换元法,令x = tanz时

函数由ƒ(x)换成ƒ(tanz)的形式,只是换了个形式化简函数而已

但这题可以用另一种解法：

∫ 1/[x²√(1 + x²)] dx

= ∫ 1/[x³√(1 + 1/x²)] dx

= ∫ 1/√(1 + 1/x²) d(- 1/2x²)

= (- 1/2)∫ 1/√(1 + 1/x²) d(1/x²)

= (- 1/2) * 2√(1 + 1/x²) + C

= - √(1 + x²)/x + C