1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x^2+bx+c与x轴交于A,B两点（A在B左侧）,与y轴交于点C,点B的坐标为（3,0）,将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C两点.
（1）求直线BC及抛物线解析式
（2）设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标
（3）连接CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数
（1）.直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后的方程式是y=kx+3,这就是BC直线啦,将点B（3,0）代入,得k=-1,所以BC直线的解析式是y+x-3=0
C点在y轴上,当x=0时,y=3,所以C点的坐标是（0,3）
将B、C两点代入抛物线得9+3b+c=0,3=c,所以b=-4,c=3,所以抛物线的方程是y=x^2-4x+3
（2）.由1得,A（1,0）,D（2,-1）,设坐标轴原点为P,抛物线对称轴与x轴交于Q点.所以QA=1,OA=1
由1得,三角形OBC为等腰直角三角形.所以tan∠ACB=tan（∠BCO-∠ACO）=tan（45°-∠ACO）=（tan45°-tan∠ACO）/（1+tan45°*tan∠ACO）=（1-1/3）/（1+1/3）=1/2.
又∠APD=∠ACB,所以tan∠APD=tan∠ACB=QA/PQ=1/PQ=1/2,所以PQ=2
因为P点在抛物线的对称轴上,所以P点的横坐标是2
又P点有两点,所以纵坐标为正负2
所以P点的坐标为（2,2）,（2,-2）
（3）.设CD与x轴的交点为E,很明显,三角形OEC与三角形QED相似,所以有
QE/OE=(2-OE)/OE=DQ/OC=1/3,所以OE=3/2.
所以tan∠OCA=OA/OC=1/3,tan∠OCD=tan∠OCE=OE/OC=1/2
由tan（∠OCA+∠OCD）=（tan∠OCA+tan∠OCD）/（1-tan（∠OCA*tan∠OCD）=(1/3+1/2)/(1-1/3*1/2)=1
又0＜∠OCA＜45°,0＜∠OCD＜45°,所以0＜∠OCA+∠OCD＜90°
所以∠OCA+∠OCD=45°,为所求
第三问的另一解法:
(3)连结 DB,易 证 角DBC=90度 ,可 证 到 直角三角形COA相似于直角三角形CDB,得角OCA=角DCB,所以
角OCA+角OCD=角OCB=45度 .证 毕 .
第二题目是2008年"扬州中考题目",现在发给你.
1.因为在矩形ABCD中,角D=90,AB=1,AD=a,所以,AC=根号(1+a^2),AM=AC/3=1/3*根号(1+a^2).
因为角AME=角D=90,角MAE=角DAC,
所以,三角形AME相似于三角形ADC.
所以,AE/AM=AC/AD,
所以,AE=AC*AM/AD=根号(1+a^2)*1/3根号(1+a^2)/a=(1+a^2)/(3a)
2.
因为AD//BC,易得三角形AME相似于三角形CMH.
HC/AE=MC/AM=2
所以,HC=2AE=2(1+a^2)/(3a)
BH=a-2(1+a^2)/(3a)=(a^2-2)/(3a)
S(梯形ABHE)=1/2*[(1+a^2)/(3a)+(a^2-2)/(3a)]=(2a^2-1)/(6a)
因为S(ABHE)/S(EHCD)=2/5
所以,S(ABHE)=2/7*S(ABCD)
即:(2a^2-1)/(6a)=2/7*a
解得:a=(+/-)根号14/2,(负值舍去)
所以,AD=根号14/2
3.
解法一:同(1)(2)同理得:AE=(1+a^2)/4.BC/AE=3
所以,BC=3AE=3(1+a^2)/4=a
即a^2-3=0
a=(+/-)根号3,(负值舍去)
即AD=根号3.
解法二:连接BD交AC于O,则AO=CO=1/2AC
又AM=AC/4,所以AM=MO=AO/2.
因为BE垂直于AO,所以有:AB=BO=AO
即三角形ABO是等边三角形.因为AB=1
所以,BD=2,AD=根号3.
4.
在直角三角形ACD中,因为AD=X,CD=1,所以:AC=根号(1+X^2),AM=1/4*根号(1+X^2)
由三角形AME相似于三角形ADC,得AE/AM=AC/AD.
所以,AE=(1+X^2)/(4X)
因为角FAE=ADC=90,所以,角AFE+FAM=FAM+MAE=90.
所以,角AFE=MAE.又角FAE=ADC=90
所以,三角形AFE相似于三角形DAC
即S(AFE)/S(ADC)=(AE/DC)^2.
即:y/[x/2]=[(1+x^2)/4x]^2
化简得:y=(1+x^2)^2/(32x)=(1+2x^2+x^4)/(32x).
x的取值范围是:根号3/3