Question

已知数列an，bn，cn满足(an+1−an)(bn+1−bn)＝cn(n∈N*)

Answer 1

解题思路：（1）先确定b_n+1-b_n=n+2，由b₁=1，迭代可得b₂，b₃的值；

（2）先确定b_n+1-b_n=

n

3

2n−7

，由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，由此可得结论．

（1）∵c_n=3n+6，a_n是公差为3的等差数列．

则由（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=c_n可得3（b_n+1-b_n）=3n+6

即b_n+1-b_n=n+2

又∵b₁=1

∴当n=1时，b₂-b₁=3，即b₂=4

当n=2时，b₃-b₂=5，即b₂=9

（2）∵c_n=n³，a_n=n²-8n

则由（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=c_n可得{[（n+1）²-8（n+1）]-（n²-8n）}（b_n+1-b_n）=n³，

∴b_n+1-b_n=

n3

2n−7

由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，即：b₄＜b₅＜b₆＜…

由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，即：b₁＞b₂＞b₃＞b₄

故k=4，使得对一切n∈N^*，均有b_n≥b_k．

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的求和，考查恒成立问题，确定数列通项是解题的关键．