解题思路：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；
（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；
（3）分为两种情况：一是E在AB的延长线上，D在线段CB的延长线上，求出CD=3，二是E在BA的延长线上，D在线段BC的延长线上，求出CD=1，即可得到答案．
（1）答案为：=．
（2）证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，
∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF，
∴AE=BD．
（3）①∵AB=1，AE=2，△ABC是等边三角形，B是AE的中点，
∴AB=AC=BC=1，易得，△ACE是Rt△，
∴∠ACE=90°，
∴∠D=∠ECB=30°，∠DBE=∠ABC=60°，即△DEB是直角三角形．
∴BD=2（30°所对的边等于斜边的一半），即CD=1+2=3．
另法：∵EF∥CD
∴∠EFC=∠EBD=180°-60°
∵EC=ED
∴∠D=∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF=60°-∠ECD=60°-∠D
∴△EFC≌△EDB
∴EF=BD
又∵∠A=∠AEF
∴AE=2
∵BC=1
∴CD=3
②∵AE=2，BA=BC=1，
∴BE=3，作EF⊥CD交CD于点F，则在Rt△EFB中，∠BEF=90°-60°=30°，
∴BF=[1/2]BE=[1/2]×（1+3）=1.5，
∴CF=BF-BC=1.5-1=0.5，
而ED=EC，EF⊥CD，
∴DF=CF（三线合一），
∴CD=2CF=1．
答：CD的长是1或3．
点评：
本题考点： 等边三角形的判定与性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
考点点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．