已知数列{an}，{cn}满足条件：a1=1，an - 知识问答

已知数列{an}，{cn}满足条件：a1=1，an+1=2an+1，cn＝1(2n+1)(2n+3)．

2个回答

解题思路：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+1，知a_n+1+1=2（a_n+1），由此能证明数列{a_n+1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由
c
n
＝
1
(2n+1)(2n+3)
＝
1
2
(
1
2n+1
−
1
2n+3
)
，用裂项求和法求出T_n=[n/6n+9]，由此能求出使得
T
n
＞
1
a
m
对任意n∈N^*都成立的正整数m的最小值．
（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，a₁+1=2≠0…（2分）
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1＝2×2n−1，
∴an＝2n−1．…（4分）
（Ⅱ）∵cn＝
1
(2n+1)(2n+3)＝
1
2(
1
2n+1−
1
2n+3)，…（6分）
∴Tn＝
1
2(
1
3−
1
5+
1
5−
1
7+…+
1
2n+1−
1
2n+3)
=[1/2(
1
3−
1
2n+3)＝
n
3×(2n+3)＝
n
6n+9]．…（8分）
∵
Tn+1
Tn＝
n+1
6n+15•
6n+9
n＝
6n2+15n+9
6n2+15n＝1+
9
6n2+15n＞1，
又T_n＞0，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*，即数列{T_n}是递增数列．
∴当n=1时，T_n取得最小值[1/15]．…（10分）
要使得Tn＞
1
am对任意n∈N^*都成立，
结合（Ⅰ）的结果，只需[1/15＞
1
2m−1]，
由此得m＞4．
∴正整数m的最小值是5．…（12分）
点评：
本题考点：数列的求和；等比数列的性质．
考点点评：本题考查数列是等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数的最小值的求法．解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用．

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