已知f(x)=logax-x+1(a>0,且a≠1)

2个回答

  • 解题思路:(1)利用导数判断函数的单调性即可;

    (2)f(x)>0在区间(1,2)上恒成立,等价于lna<[lnx/x−1]在区间(1,2)上恒成立,利用导数求得函数F(x)=[lnx/x−1]的最小值,即可得出结论.

    (1)a=e时,f(x)=lnx−x+1,x∈(0,+∞),f′(x)=

    1

    x−1

    令f′(x)>0,知0<x<1,故f(x)的单调增区间为(0,1);

    同理f(x)的单调减区间为(1,+∞),

    (2)∵f(x)=logax−x+1=

    lnx

    lna−x+1,

    ∴f(x)>0在(1,2)上恒成立⇔

    lnx

    lna>x−1在(1,2)上恒成立

    而x∈(1,2)时,lnx>0,x-1>0∴0<a<1不合题意∴a>1

    ∴[lnx/lna>x−1在(1,2)上恒成立⇔lna<

    lnx

    x−1在(1,2)上恒成立令F(x)=

    lnx

    x−1,则F′(x)=

    1

    x(x−1)−lnx

    (x−1)2=

    1−

    1

    x+ln

    1

    x

    (x−1)2]

    由(1)知,当x>0,f(x)=lnx-x+1<f(1)=0,

    ∴x∈(1,2)即

    1

    x∈(

    1

    2,1)时,ln

    1

    x−

    1

    x+1<0恒成立,

    ∴F'(x)<0恒成立∴F(x)在(1,2)上单调递减,

    即F(x)>F(2)=ln2,∴lna≤ln2,∴a≤2,

    综上得a∈(1,2].

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题,考查学生恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力,属于中档题.