解题思路:(1)利用导数判断函数的单调性即可;
(2)f(x)>0在区间(1,2)上恒成立,等价于lna<[lnx/x−1]在区间(1,2)上恒成立,利用导数求得函数F(x)=[lnx/x−1]的最小值,即可得出结论.
(1)a=e时,f(x)=lnx−x+1,x∈(0,+∞),f′(x)=
1
x−1
令f′(x)>0,知0<x<1,故f(x)的单调增区间为(0,1);
同理f(x)的单调减区间为(1,+∞),
(2)∵f(x)=logax−x+1=
lnx
lna−x+1,
∴f(x)>0在(1,2)上恒成立⇔
lnx
lna>x−1在(1,2)上恒成立
而x∈(1,2)时,lnx>0,x-1>0∴0<a<1不合题意∴a>1
∴[lnx/lna>x−1在(1,2)上恒成立⇔lna<
lnx
x−1在(1,2)上恒成立令F(x)=
lnx
x−1,则F′(x)=
1
x(x−1)−lnx
(x−1)2=
1−
1
x+ln
1
x
(x−1)2]
由(1)知,当x>0,f(x)=lnx-x+1<f(1)=0,
∴x∈(1,2)即
1
x∈(
1
2,1)时,ln
1
x−
1
x+1<0恒成立,
∴F'(x)<0恒成立∴F(x)在(1,2)上单调递减,
即F(x)>F(2)=ln2,∴lna≤ln2,∴a≤2,
综上得a∈(1,2].
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题,考查学生恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力,属于中档题.