先证n=4:a1+a2+a3+a4=[(a1+a2)+(a3+a4)>=2sqrt(a1a2)+2sqrt(a3a4)=2[sqrt(a1a2)+sqrt(a3a4)]>=4sqrt[sqrt(a1a2)sqrt(a3a4)]=4sqrt(4,a1a2a3a4),即 a1+a2+a3+a4>=4sqrt(4,a1a2a3a4) (1)再证n=3:因为不等式(1)对于任意四个正数成立,所以对于四个正数a1,a2,a3,(a1+a2+a3)/3也成立(其中a1,a2,a3是任意三个正数),于是由(1)得a1+a2+a3+(a1+a2+a3)/3>=4sqrt(4,a1a2a3(a1+a2+a3)/3)即 (a1+a2+a3)/3>=sqrt(4,a1a2a3(a1+a2+a3)/3)两边四次方,得[(a1+a2+a3)/3]^4>=a1a2a3(a1+a2+a3)/3即 [(a1+a2+a3)/3]^3>=a1a2a3两边开立方,得(a1+a2+a3)/3>=sqrt(3,a1a2a3)
或者利用琴生不等式