Question

设f(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)>0,证明 f(x)在[a,b]上的导数 乘 1/f(x)在[a,b]上的导

Answer 1

你的题错了,不是导数,是积分吧?

给你一个二重积分的做法,如果没学过二重积分,我再给你一个定积分做法.

左边=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx

定积分可随便换积分变量

=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy

=∫∫(D) f(x)/f(y) dxdy 其中：D为a≤x≤b,a≤y≤b

该积分区域为正方形区域,关于y=x对称,则满足轮换对称性,即：∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy

=(1/2)∫∫(D) [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy

由平均值不等式

≥∫∫(D) 1 dxdy 被积函数为1,积分结果是区域面积

=(b-a)²

=右边

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