数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an - 知识问答

数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=[n+2/n]Sn（n=1，2，3，…）．证明：

1个回答

解题思路：（Ⅰ）要证数列{
S
n
n
}是等比数列；需证
S
n+1
n+1
S
n
n
＝2
（n=1，2，3，…）成立，另外应说明
S
2
2
S
1
1
＝2
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{
S
n
n
}是首项为1，公比为2的等比数列，可得S_n的通项公式，代入a_n+1=[n+2/n]S_n（n=1，2，3，…）可得S_n+1=4a_n．说明当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
（I）证：由a₁=1，a_n+1=[n+2/n]S_n（n=1，2，3，），
知a₂=[2+1/1]S₁=3a₁，
S2
2＝
4a1
2＝2，
S1
1＝1，∴
S2
2
S1
1＝2
又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），则S_n+1-S_n=[n+2/n]S_n（n=1，2，3，），
∴nS_n+1=2（n+1）S_n，
Sn+1
n+1
Sn
n＝2（n=1，2，3，…），
故数列{
Sn
n}是首项为1，公比为2的等比数列．
（II）证明：S_n+1=4a_n．当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
由（1）知：
Sn
n＝1×2n−1，∴S_n=n2^n-1
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=2ⁿ（2n-n+1）=（n+1）2ⁿ=S_n+1，等式成立．
因此对于任意正整数n≥1都有S_n+1=4a_n．
点评：
本题考点：数列的求和；等比关系的确定．
考点点评：要证一个数列是等比数列，利用定义，每一项与它的前一项之比为一个常数，在这儿注意，n=1时，不在其中，所以要加以说明；同样第二个问题中，an+1=[n+2/n]Sn（n=1，2，3，…），这个式子也不包括a1应加以说明．

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