Question

如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边

Answer 1

解题思路：（1）利用中位线定理可得∠BO₁F=∠CO₂F，进而可得∠DO₁F=∠FO₂E，易得O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，可得：△DO₁F≌△FO₂E；

（2）易得△ACE和△ACQ，△ABD，△APD均为等腰直角三角形，那么可得AB，AC的长，利用勾股定理可得BC的长，利用顶点A及AB边构造和△PAQ全等的三角形AGB，利用勾股定理求得BG的长即为PQ的长；

（3）需证∠6+∠8=90°，那么证明∠5+∠7=90°即可；利用四点共圆的性质可得△DBR≌△DAM，进而可得∠5=∠9，即可求证．

（1）证明：如图一，

∵O₁，O₂，F分别是AB，AC，BC边的中点，

∴O₁F∥AC且O₁F=AO₂，O₂F∥AB且O₂F=AO₁，

∴∠BO₁F=∠BAC，∠CO₂F=∠BAC，

∴∠BO₁F=∠CO₂F

∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，

∴O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，

∠BO₁D=90°，∠CO₂E=90°，

∴∠BO₁D=∠CO₂E．

∴∠DO₁F=∠FO₂E．

∴△DO₁F≌△FO₂E；

（2）如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE．

∵点E是半圆O₂圆弧的中点，

∴AE=CE=3

∵AC为直径

∴∠AEC=90°，

∴∠ACE=∠EAC=45°，AC=

AE2+CE2=3

2，

∵AQ是半圆O₂的切线，

∴CA⊥AQ，

∴∠CAQ=90°，

∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°，

∴AQ=AC=AG=3

2，

同理：∠BAP=90°，AB=AP=5

2，

∴CG=6

2，∠GAB=∠QAP，

∴△AQP≌△AGB．

∴PQ=BG，

∵∠ACB=90°，

∴BC=

AB2−AC2=4

点评：

本题考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评： 综合考查了圆与全等的有关知识；利用中位线定理及构造三角形全等，利用全等的性质解决相关问题是解决本题的关键．