Question

已知命题p：“∀x∈[1，2]，[1/2]x2-lnx-a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2+2ax-8-6a=0”都是真

Answer 1

解题思路：解命题P是恒成立问题，利用变量分流，构造新函数，用最值法求解，命题q即为方程有解．

∵∀x∈[1，2]，[1/2]x²-lnx-a≥0

∴a≤[1/2x2−lnx，x∈[1，2]

令：f（x）=

1

2x2−lnx，x∈[1，2]

则f′（x）=x−

1

x]

∵f′（x）＞0

∴f（x）在[1，2]上增函数

∴f（x）的最小值为[1/2]

∴a≤[1/2]

又命题q：“∃x∈R，x²+2ax-8-6a=0”是真命题

∴△=4a²+32+24a≥0

∴a≥-2或a≤-4

又∵命题p：“∀x∈[1，2]，[1/2]x²-lnx-a≥0”与命题q：“∃x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命题

∴实数a的取值范围 是（-∞，-4]∪[-2，[1/2]]

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题通过常用逻辑用语来考查不等式怛成立问题和方程解的问题，难度空间很大，应熟练掌握．