解题思路：（Ⅰ）对于含参数的函数f（x）的单调区间的求法，需要进行分类讨论，然后利用导数求出函数的单调性；
（Ⅱ）求出f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，设 g（a）=4a3-12a+8，求出g（a）在[[1/2，
3
4]]内是减函数，问题得以解决．
（Ⅰ）f'（x）=3x2-6ax=3x（x-2a），令f'（x）=0，则x1=0，x2=2a，
（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-∞，0） 0 （0，2a） 2a （2a，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴函数f（x）在区间（-∞，0）和（2a，+∞）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数．
（2）当a＜0时，2a＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-∞，2a） 2a （2a，0） 0 （0，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴函数f（x）在区间（-∞，2a）和（0，+∞）内是增函数，在区间（2a，0）内是减函数．
（Ⅱ）由[1/2≤a≤
3
4]及（Ⅰ），f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，
又f（2）-f（1）=（8-12a+b）-（1-3a+b）=7-9a＞0，
∴M=f（2），m=f（2a）=8a3-12a3+b=b-4a3，
∴M-m=（8-12a+b）-（b-4a3）=4a3-12a+8，
设 g（a）=4a3-12a+8，
∴g'（a）=12a2-12=12（a+1）（a-1）＜0（a∈[[1/2，
3
4]]），
∴g（a）在[[1/2，
3
4]]内是减函数，
故 g（a）max=g（[1/2]）=2+[1/2]=[5/2]，g（a）min=g（[3/4]）=-1+4×
33
42=[11/16]．
∴[11/16]≤M-m≤[5/2]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值和单调性，涉及构造函数的方法，属中档题．
1年前
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