Question

求证lim[（1^p+2^p+……+n^p）/n^p — n/(p+1)]=1/2,n→∞,p为自然数

Answer 1

lim[（1^p+2^p+……+n^p）/n^p — n/(p+1)]=1/2,n→∞

lim[（1^p+2^p+……+n^p）/n^p — n/(p+1)],n→∞

= lim{[(1^p+2^p+……+n^p）（p+1）-n^(p+1)]/[n^p *(p+1)]},n→∞(这一步好像叫同分母吧)

=lim[(（n^p)(p+1）-n^(p+1)+(n-1)^(p+1))/((n^p-(n-1)^p)*(p+1)],n→∞(用stolz定理)

=lim[(（n^p)(p+1）-n^(p+1)+n^(p+1)-(p+1)n^p+(p+1)p/2*n^(p-1)-...)/((n^p-n^p+pn^(p-1)-...)*(p+1)],n→∞((n-1)^(p+1)展开,(n-1)^p展开)

=lim[(p+1)p/2*n^(p-1)-...)/((pn^(p-1)-...)*(p+1)],n→∞

=1/2,n→∞(两个“...”都是n^(p-1)的高阶无穷小)

用stolz定理还是比较方便的