已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、 - 知识问答

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使[as

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解题思路：由“
a
sin∠P
F
1
F
2
＝
c
sin∠P
F
1
F
2
”的结构特征，联想到在△PF₁F₂中运用由正弦定理得：
P
F
2
sin∠P
F
1
F
2
＝
P
F
1
sin∠P
F
2
F
1
两者结合起来，可得到
a
P
F
2
＝
c
P
F
1
，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex₀）=c（a-ex₀）解出x₀，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．
在△PF₁F₂中，由正弦定理得：
PF2
sin∠PF1F2=
PF1
sin∠PF2F1
则由已知得：
a
PF2=
c
PF1，
即：aPF₁=cPF₂
设点P（x₀，y₀）由焦点半径公式，
得：PF₁=a+ex₀，PF₂=a-ex₀
则a（a+ex₀）=c（a-ex₀）
解得：x₀=
a(c-a)
e(c+a)=
a(e-1)
e(e+1)
由椭圆的几何性质知：x₀＞-a则
a(e-1)
e(e+1)＞-a，
整理得e²+2e-1＞0，解得：e＜-
2-1或e＞
2-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈（
2-1，1），
故选D．
点评：
本题考点：正弦定理；椭圆的简单性质．
考点点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．

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