(初三)如图,△ABC中,AB=AC,I为△ABC的内心,AI的延长线交△ABC的外接圆于点D,过点I作BC的平行线分别

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  • (初三)证明:(1)∵AB=AC,I为△ABC的内心,即AI平分∠BAC

    又∵BC ∥ EF,

    ∴AI垂直平分EF,

    而O是△DEF外接圆的圆心,则O点一定在EF的垂直平分线上,

    ∴O点在线段AD上;

    (2)连接OE,OF,BD,BI,如图,

    ∵AD垂直平分BC,

    ∴AD过△ABC外接圆的圆心,即AD为△ABC外接圆的直径,

    ∴∠ABD=90°,而∠AIE=90°,

    ∴I、E、B、D四点共圆,

    ∴∠IDE=∠IBE=∠IBC,而∠EOI=2∠EDI,

    ∴∠EOI=∠ABC,而∠ABC+∠BAD=90°,

    ∴∠EOI+∠BAD=90°,即∠OEA=90°,

    ∴AB是⊙O的切线.同理可得AC是⊙O的切线.

    (初二)证明:

    连接AC,因为AD=DC,∠ADC=60°

    则△ACD是等边三角形,

    过B作BE⊥AB,使BE=BC,连接CE,AE,

    则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60°,

    ∴△BCE是正三角形,

    又∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+60°

    ∠DCB=∠ACB+∠ACD=∠ACB+60°

    ∴∠ACE=∠DCB

    又DC=AC,BC=CE

    所以△DCB≌△ACE

    所以AE=BD

    在直角三角形ABE中AE 2 =AB 2 +BE 2 ,

    即BD 2 =AB 2 +BC 2 .