(初三)证明:(1)∵AB=AC,I为△ABC的内心,即AI平分∠BAC
∴
又∵BC ∥ EF,
∴AI垂直平分EF,
而O是△DEF外接圆的圆心,则O点一定在EF的垂直平分线上,
∴O点在线段AD上;
(2)连接OE,OF,BD,BI,如图,
∵AD垂直平分BC,
∴AD过△ABC外接圆的圆心,即AD为△ABC外接圆的直径,
∴∠ABD=90°,而∠AIE=90°,
∴I、E、B、D四点共圆,
∴∠IDE=∠IBE=∠IBC,而∠EOI=2∠EDI,
∴∠EOI=∠ABC,而∠ABC+∠BAD=90°,
∴∠EOI+∠BAD=90°,即∠OEA=90°,
∴AB是⊙O的切线.同理可得AC是⊙O的切线.
(初二)证明:
连接AC,因为AD=DC,∠ADC=60°
则△ACD是等边三角形,
过B作BE⊥AB,使BE=BC,连接CE,AE,
则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60°,
∴△BCE是正三角形,
又∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+60°
∠DCB=∠ACB+∠ACD=∠ACB+60°
∴∠ACE=∠DCB
又DC=AC,BC=CE
所以△DCB≌△ACE
所以AE=BD
在直角三角形ABE中AE 2 =AB 2 +BE 2 ,
即BD 2 =AB 2 +BC 2 .