解题思路：（1）f′（x）=-ln（x+1），当f′（x）＞0时，解得：-1＜x＜0，当f′（x）＜0时，解得：x＞0，从而f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减；
（2）由（1）得：f（x）在[-[1/2]，0]上递增，在[0，1]上递减，又f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-[1/2]）=-[1/2]+[1/2]ln2，从而t∈[-[1/2]+[1/2]ln2，0）时，方程f（x）=t有两个解；
（3）存在m=0满足条件，理由：y=f′（x）与y=ln（x+[1/6]）交点为（[1/2]，ln[2/3]），则S=
∫
ln
2
3
−ln6
（ey-[1/6]）dy+
∫
0
ln
2
3
（e-y-1）dy=1+[2/3]ln2-ln3，问题解决．
（1）f′（x）=-ln（x+1），
当f′（x）＞0时，解得：-1＜x＜0，
当f′（x）＜0时，解得：x＞0，
∴f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减；
（2）由（1）得：
f（x）在[-[1/2]，0]上递增，在[0，1]上递减，
又f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-[1/2]）=-[1/2]+[1/2]ln2，
∴f（1）-f（-[1/2]）＜0，
∴t∈[-[1/2]+[1/2]ln2，0）时，方程f（x）=t有两个解；
（3）存在m=0满足条件，
理由：y=f′（x）与y=ln（x+[1/6]）交点为（[1/2]，ln[2/3]），
y=f′（x）与y轴交点为（0，0），
y=ln（x+[1/6]）与y轴交点为（0，-ln6），
则S=
∫ln
2
3−ln6（ey-[1/6]）dy+
∫0ln
2
3（e-y-1）dy
=1+[2/3]ln2-ln3，
∴存在m=0满足条件．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；定积分在求面积中的应用．
考点点评： 本题考察了利用导数研究函数的单调性，求参数的范围问题，定积分在面积中的应用问题，是一道综合题．