解题思路：（1）根据四边形OFPM是平行四边形，可知|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，根据双曲线定义可表示出|PM|，进而根据双曲线第二定义表示出离心率e，化简整理即可得到e和λ的关系式．
（2）当λ=1时，e=2，c=2a，b2=3a2，双曲线为
x
2
a
2
−
y
2
3
a
2
＝1
，根据四边形OFPM是菱形，求的直线OP的斜率，进而可知直线AB的方程代入到双曲线方程，进而表示出|AB|求得a，则b可得，进而可求得双曲线方程．
（Ⅰ）∵四边形OFPM是平行四边形，
∴|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，则|PM|=|PH|+2×
a2
c，
又e=
|PF|
|PH|＝
λ|OF|
c−2
a2
c＝
λc
c−2
a2
c＝
λc2
c2−2a2＝
λe2
e2−2，e2-λe-2=0．
（Ⅱ）当λ=1时，e=2，|PF|=|OF|．
∴c=2a，b2=3a2，双曲线为
x2
a2−
y2
3a2=1且平行四边形OFPM是菱形，
由图象，作PD⊥X轴于D，则直线OP的斜率为
PD
OD=
C2−
a4
C2
c−
a2
c=
15
3，则直线AB的方程为y=
15
3（x-2a），代入到双曲线方程得：
4x2+20ax-29a2=0，又|AB|=12，
由|AB|=
1+k2
(x1+x2)2−4x1x2，
得：12=
8
3
(5a)2+4×
29a2
4，
解得a=1，
则b2=3，
所以x2-
y2
3=1为所求．
点评：
本题考点： 双曲线的标准方程；抛物线的简单性质．
考点点评： 本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线性质的综合掌握．