解题思路:(1)f′(x)=3ax2-6x+3,其判别式△=36-36a=36(1-a)≤0,由二次函数性质可知f′(x)≥0恒成立,由此可得单调区间;
(2)只需求得f(x)在[1,3]上的最大值,然后令其等于8可求a.由(1)知,a≥1时,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,从而可得其最大值f(3),令其为8可求a;当0<a<1时,求得两极值点,根据极值点在区间[1,3]内,在区间[1,3]外进行讨论,可求得f(x)在[1,3]上的最大值,令其为8可得a值,注意检验a的范围;
(1)f′(x)=3ax2-6x+3,其判别式△=36-36a=36(1-a),
∵a≥1,∴△≤0,对任意实数,f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
(2)当a≥1时,由(1)可知,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
∴f(x)在[1,3]的最大值为f(3),由f(3)=8,解得 a=
26
27(不符合,舍去);
当0<a<1时,△=36-36a=36(1-a)>0,方程3ax2-6x+3=0的两根为x1=
1−
1−a
a,x2=
1+
1−a
a,
f′(x)=3ax2-6x+3图象的对称轴x=
1
a,
∵x1-1=
1−
1−a
a−1=
1−a(
1−a−1)
a<0,∴0<x1<1<
1
a<x2,
由x2=3,解得 a=
5
9,
①当0<a<
5
9,x2>3,
∵f′(1)=3(a-1)<0,f'(3)=3(9a-5)<0,且f'(x)的图象开口向上,
∴x∈[1,3]时,f′(x)<0,f(x)在[1,3]是减函数,f(x)在[1,3]的最大值ymax=f(1),
由f(1)=8,解得 a=8(不符合,舍去).
②当
5
9≤a<1,x2≤3,x∈[1,x2],f′(x)<0
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值等知识,考查分类讨论思想,考查学生解决问题的能力,当区间确定,而极值点不定时,要按照极值点在区间内、在区间外进行讨论,以确定最值.