(2014•韶关一模)已知函数f(x)=ax3-3x2+3x(a>0)

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  • 解题思路:(1)f′(x)=3ax2-6x+3,其判别式△=36-36a=36(1-a)≤0,由二次函数性质可知f′(x)≥0恒成立,由此可得单调区间;

    (2)只需求得f(x)在[1,3]上的最大值,然后令其等于8可求a.由(1)知,a≥1时,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,从而可得其最大值f(3),令其为8可求a;当0<a<1时,求得两极值点,根据极值点在区间[1,3]内,在区间[1,3]外进行讨论,可求得f(x)在[1,3]上的最大值,令其为8可得a值,注意检验a的范围;

    (1)f′(x)=3ax2-6x+3,其判别式△=36-36a=36(1-a),

    ∵a≥1,∴△≤0,对任意实数,f′(x)≥0恒成立,

    ∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

    (2)当a≥1时,由(1)可知,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,

    ∴f(x)在[1,3]的最大值为f(3),由f(3)=8,解得 a=

    26

    27(不符合,舍去);

    当0<a<1时,△=36-36a=36(1-a)>0,方程3ax2-6x+3=0的两根为x1=

    1−

    1−a

    a,x2=

    1+

    1−a

    a,

    f′(x)=3ax2-6x+3图象的对称轴x=

    1

    a,

    ∵x1-1=

    1−

    1−a

    a−1=

    1−a(

    1−a−1)

    a<0,∴0<x1<1<

    1

    a<x2,

    由x2=3,解得 a=

    5

    9,

    ①当0<a<

    5

    9,x2>3,

    ∵f′(1)=3(a-1)<0,f'(3)=3(9a-5)<0,且f'(x)的图象开口向上,

    ∴x∈[1,3]时,f′(x)<0,f(x)在[1,3]是减函数,f(x)在[1,3]的最大值ymax=f(1),

    由f(1)=8,解得 a=8(不符合,舍去).

    ②当

    5

    9≤a<1,x2≤3,x∈[1,x2],f′(x)<0

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值等知识,考查分类讨论思想,考查学生解决问题的能力,当区间确定,而极值点不定时,要按照极值点在区间内、在区间外进行讨论,以确定最值.