Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD．

Answer 1

解题思路：利用线面垂直的判定定理证明DB⊥平面A₁ACC₁ ，证得A₁O⊥DB．再用勾股定理证明A₁O⊥OM，

这样，A₁O就垂直于平面MBD内的两条相交直线，故A₁O⊥平面MBD．

证明：连接MO．

∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，

∴DB⊥平面A₁ACC₁．

又A₁O⊂平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．

在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=

2

2，

tan∠MOC=

2

2，∴∠AA₁O=∠MOC，

则∠A₁OA+∠MOC=90°．∴A₁O⊥OM．

∵OM∩DB=O，∴A₁O⊥平面MBD．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查证明直线和平面垂直的方法，在其中一个平面内找出2条相交直线和另一个平面垂直．