A、因为物体做自由落体运动的条件：①只在重力作用下②从静止开始．只在重力作用下保证了物体的加速度为g；从静止开始保证了物体初速度等于零．所以从静止开始下落的物体不一定是做自由落体，关键是它不一定仅受重力，故A错误．
B、因为物体做自由落体运动的条件：①只在重力作用下②从静止开始．故B错误；
C、自由落体运动是物体仅在重力作用下由静止开始下落的运动，故物体的加速度等于当地的重力加速度g，故C正确；
D、自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故 h=
1
2 g t 2 ，即位移与时间的平方成正比，故D错误；
故选C．