Question

已知f(x)=x^α-x^β,α,β为正有理数,且α>β,试判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.

Answer 1

在区间(1,+∞)上,任取x1,x2满足x2>x1>1

f(x2)=x2^a-x2^b (为了打字方便,我用了a,b）

f(x1)=x1^a-x1^b

f(x2)/f(x1)

=(x2^a-x2^b )/(x1^a-x1^b)

=x2^b[x2^(a-b)-1]/x1^b[x1^(a-b)-1]

分成两部分看

x2^b/x1^b,因为x2>x1>1,b>0,根据指数函数性质,得到

x2^b/x1^b>1

[x2^(a-b)-1]/[x1^(a-b)-1]

因为x2>x1>1,a-b>0,根据指数函数性质,得到

x2^(a-b)>x1^(a-b)

所以[x2^(a-b)-1]/[x1^(a-b)-1]>1

所以f(x2)/f(x1)>1

f(x2)>f(x1)

所以f(x)在区间(1,+∞)上为增函数