Question

如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上．

Answer 1

解题思路：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中求出点A的坐标，再将点A的坐标代入抛物线的解析式y=x2-2x+c中，运用待定系数法即可求出c的值；（2）先由抛物线的解析式得到点B的坐标，再求出AB、AD、BD三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD是直角三角形．

（1）∵y=x²-2x+c，

∴顶点A的横坐标为x=-[−2/2]=1，

又∵顶点A在直线y=x-5上，

∴当x=1时，y=1-5=-4，

∴点A的坐标为（1，-4）．

将A（1，-4）代入y=x²-2x+c，

得-4=1²-2×1+c，解得c=-3．

故抛物线顶点A的坐标为（1，-4），c的值为-3；

（2）△ABD是直角三角形．理由如下：

∵抛物线y=x²-2x-3与y轴交于点B，

∴B（0，-3）．

当y=0时，x²-2x-3=0，

解得x₁=-1，x₂=3，

∴C（-1，0），D（3，0）．

∵BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4-3）²+1²=2，AD²=（3-1）²+4²=20，

∴BD²+AB²=AD²，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数的性质，运用待定系数法确定其解析式，勾股定理及其逆定理等知识，综合性较强，难度适中．