完全数 【定义】若一个自然数,恰好与除去它本身以外的一切因数的和相等,这种数叫做完全数.例如,6=1+2＋3 28=1＋2＋4＋7＋14 496=1+2+4+8＋16+31+62＋124 8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064 【疑难问题】(1)到底有多少完全数?寻找完全数并不是容易的事.经过不少数学家研究,到目前为止,一共找到了40多个完全数.(2)有没有奇完全数?奇怪的是,已发现的44个完全数都是偶数,会不会有奇完全数存在呢?如果存在,它必须大于10^120.至今无人能回答这些问题.【公式】大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式：如果2^p-1质数,那么(2^p-1)2^(p-1)便是一个完全数.p=2,2^p-1=3是质数,(2^p-1)2^(p-1)=3X2=6p=3,2^p-1=7是质数,(2^p-1)2^(p-1)=7X4=28但是2^p-1什么条件下才是质数呢?当2^p-1是质数的时候,称其为梅森素数!顾名思义,就是梅森第一个系统地研究这种形式的素数的!事实上,至今(2006.9.4)为止,人类只发现了44个梅森素数,也就是只发现了44个完全数!【梅森素数表】 序号p 位数 发现时间 发现者 (reference) 1 2 1 （无从考究） （无从考究） 2 3 2 （无从考究） （无从考究） 3 5 3 （无从考究） （无从考究） 4 7 4 （无从考究） （无从考究） 5 13 8 1461 Reguis(1536),Cataldi(1603) 6 17 12 1588 Cataldi (1603) 7 19 19 1588 Cataldi (1603) 8 31 10 1750 Euler (1772) 9 61 19 1883 Pervouchine (1883),Seelhoff (1886) 10 89 27 1911 Powers (1911) 11 107 33 1913 Powers (1914) 12 127 39 1876 Lucas (1876) 13 521 157 Jan.30,1952 Robinson (1954) 14 607 183 Jan.30,1952 Robinson (1954) 15 1279 386 Jun.25,1952 Robinson (1954) 16 2203 664 Oct.7,1952 Robinson (1954) 17 2281 687 Oct.9,1952 Robinson (1954) 18 3217 969 Sep.8,1957 Riesel 19 4253 1281 Nov.3,1961 Hurwitz 20 4423 1332 Nov.3,1961 Hurwitz 21 9689 2917 May 11,1963 Gillies (1964) 22 9941 2993 May 16,1963 Gillies (1964) 23 11213 3376 Jun.2,1963 Gillies (1964) 24 19937 6002 Mar.4,1971 Tuckerman (1971) 25 21701 6533 Oct.30,1978 Noll and Nickel (1980) 26 23209 6987 Feb.9,1979 Noll (Noll and Nickel 1980) 27 44497 13395 Apr.8,1979 Nelson and Slowinski 28 86243 25962 Sep.25,1982 Slowinski 29 110503 33265 Jan.28,1988 Colquitt and Welsh (1991) 30 132049 39751 Sep.20,1983 Slowinski 31 216091 65050 Sep.6,1985 Slowinski 32 756839 227832 Feb.19,1992 Slowinski and Gage 33 859433 258716 Jan.10,1994 Slowinski and Gage 34 1257787 378632 Sep.3,1996 Slowinski and Gage 35 1398269 420921 Nov.12,1996 Joel Armengaud/GIMPS 36 2976221 895832 Aug.24,1997 Gordon Spence/GIMPS 37 3021377 909526 Jan.27,1998 Roland Clarkson/GIMPS 38 6972593 2098960 Jun.1,1999 Nayan Hajratwala/GIMPS 39 13466917 4053946 Nov.14,2001 Michael Cameron/GIMPS 40 20996011 6320430 Nov.17,2003 Michael Shafer/GIMPS 41 24036583 7235733 May 15,2004 Josh Findley/GIMPS 42 25964951 7816230 Feb.18,2005 Martin Nowak/GIMPS 43 30402457 9152052 Dec.15,2005 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS 44 32582657 9808358 Sep.4,2006 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS 第44个梅森素数是现今人类已知的最大的素数!