解题思路:(1)二次函数y=x2+mx+2的图象经过点B,可得B点坐标为(0,2),再根据tan∠OAB=2求出A点坐标,将A代入解析式即可求得函数解析式;
(2)根据旋转不变性可轻松求得C点坐标,由于沿y轴运动,故图象开口大小、对称轴均不变,设出解析式,代入C点作标即可求解;
(3)由于P点位置不固定,由图可知要分①当点P在对称轴的右侧时,②当点P在对称轴的左侧,同时在y轴的右侧时,③当点P在y轴的左侧时,三种情况讨论.
(1)由题意,点B的坐标为(0,2),(1分)
∴OB=2,
∵tan∠OAB=2,即[OB/OA]=2.
∴OA=1.
∴点A的坐标为(1,0).(2分)
又∵二次函数y=x2+mx+2的图象过点A,
∴0=12+m+2.
解得m=-3,(1分)
∴所求二次函数的解析式为y=x2-3x+2.(1分)
(2)作CE⊥x轴于E,
由于∠BAC=90°,可知∠CAE=∠OBA,△CAE≌△OBA,
可得CE=OA=1,AE=OB=2,可得点C的坐标为(3,1).(2分)
由于沿y轴运动,故图象开口大小、对称轴均不变,
设出解析式为y=x2-3x+c,代入C点作标得1=9-9+c,c=1,
所求二次函数解析式为y=x2-3x+1.(1分)
(3)由(2),经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象,
那么对称轴直线x=[3/2]不变,且BB1=DD1=1.(1分)
∵点P在平移后所得二次函数图象上,
设点P的坐标为(x,x2-3x+1).
在△PBB1和△PDD1中,∵S△PBB1=2S△PDD1,
∴边BB1上的高是边DD1上的高的2倍.
①当点P在对称轴的右侧时,x=2(x-[3/2]),得x=3,
∴点P的坐标为(3,1);
②当点P在对称轴的左侧,同时在y轴的右侧时,x=2([3/2]-x),得x=1,
∴点P的坐标为(1,-1);
③当点P在y轴的左侧时,x<0,又-x=2([3/2]-x),
得x=3>0(舍去),
∴所求点P的坐标为(3,1)或(1,-1).(3分)
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 此题是一道中考压轴题,将解直角三角形、图形的旋转和平移以及点的存在性的探索等问题结合起来,考查了综合应用各种知识解题的能力,思维跳跃较大,有一定难度.