Question

求同时满足下列条件的自然数a,b：(1)、a>b;(2)、(ab)/(a+b)=13^2;(3)、a+b是完全平方数.

Answer 1

(1)a>b (2)ab/（a+b）=169 (3)a+b是完全平方数

由(3)：设a+b=c^2 (c>0)

由(2)：ab/c^2=169,ab=169*c^2

结合(1)：a、b是方程x^2-c^2*x+169*c^2=0的两个不等整数根

Δ=c^4-676*c^2

由Δ>0得：c>26

由x=(c^2±√Δ)/2为整数得：Δ为完全平方数

而Δ=c^4-676*c^2=c^2*(c^2-676)

∴c^2-676为完全平方数,设c^2-676=d^2

则d^2=c^2-26^2>0,d>0

且c^2-d^2=676=13^2*2^2

即(c+d)*(c-d)=13^2*2^2

c+d,c-d同奇同偶,且d>0

∴只有c+d=13^2*2=338,c-d=2

即c=170,d=168

∴Δ=c^2*d^2=170^2*168^2

a=(c^2+√Δ)/2=(170^2+170*168)/2=170*169=28730

b=(c^2-√Δ)/2=(170^2-170*168)/2=170