(1)∵f(-x+5)=f(x-3),∴函数的对称轴为x=1,即 -
b
2a =1
∵方程f(x)=x有等根,∴△=(b-1) 2=0
∴b=1,a=-
1
2
∴ f(x)=-
1
2 x 2 +x .
(2)∵ f(x)=-
1
2 x 2 +x 的开口向下,对称轴为x=1
∴当t≥1时,函数f(x)在[t,t+1]上为减函数,最大值为u(t)=f(t)=-
1
2 t 2+t
当0<t<1时,函数f(x)最大值为u(t)=f(1)=
1
2
当t≤0时,函数f(x)在[t,t+1]上为增函数,最大值为u(t)=f(t+1)=-
1
2 t 2+
1
2
∴ u(t)=
-
1
2 t 2 +t(t≥ 1)
1
2
-
1
2 t 2 +
1
2 (t≤ 0) (0<t<1)