已知二次函数f(x)=ax 2 +bx(a、b为常数且a≠0)满足条件:f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x

1个回答

  • (1)∵f(-x+5)=f(x-3),∴函数的对称轴为x=1,即 -

    b

    2a =1

    ∵方程f(x)=x有等根,∴△=(b-1) 2=0

    ∴b=1,a=-

    1

    2

    ∴ f(x)=-

    1

    2 x 2 +x .

    (2)∵ f(x)=-

    1

    2 x 2 +x 的开口向下,对称轴为x=1

    ∴当t≥1时,函数f(x)在[t,t+1]上为减函数,最大值为u(t)=f(t)=-

    1

    2 t 2+t

    当0<t<1时,函数f(x)最大值为u(t)=f(1)=

    1

    2

    当t≤0时,函数f(x)在[t,t+1]上为增函数,最大值为u(t)=f(t+1)=-

    1

    2 t 2+

    1

    2

    ∴ u(t)=

    -

    1

    2 t 2 +t(t≥ 1)

    1

    2

    -

    1

    2 t 2 +

    1

    2 (t≤ 0) (0<t<1)