Question

如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,椭圆经过点M（2,1）,平行于OM的直线L在y

Answer 1

1、设椭圆的长轴为a,则短轴为a/2,焦点在x轴上

椭圆方程可表示为 x^2/a^2+y^2/(a/2)^2=1

把（2,1）代入椭圆方程

4/a^2+1/(a^2/4)=1

4/a^2+4/a^2=1

a^2=8,a^2/4=2

所以椭圆方程为 x^2/8+y^2/2=1

2、根据两点式,OM所在直线方程为

(y-0)/(1-0)=(x-0)/(2-0)

化简得 y=x/2

直线l平行于OM,所以l的斜率为1/2

又因为当x=0,y=m

所以l的解析式为 y=x/2+m

把 y=x/2+m 代入椭圆方程

x^2/8+(x/2+m)^2/2=1

化简得 2x^2-4mx+m^2-8=0

l与椭圆有两个不同的交点,判别式△>0

△=（-4m）^2-4*2*(m^2-8)

=16m^2-8m^2+64

=64-8m^2>0

解得 -2√2