解题思路：首先得出能被3整除的数的特征，然后从1开始，公差为3的满足题设条件的数，加上一个能被3整除的数，即可得出最多可以选出的数．
这2008个数可以分成三类：
①被3整除的数：3，6，9，．，2007，共有669个；
②被3除余数是1的数：1，4，7，．，2008，共有670个；
③被3除余数是2的数：2，5，8，．，2006，共有669个．
从第2组（被3除余数是1的数，共有670个）中可取670个，再从第一组（被3整除的数）中取出一个，则最多可以选出670+1=671个数，使得被选出的数中任意两个数的和都不能被3整除．
故答案为：671．
点评：
本题考点： 数字问题．
考点点评： 本题考查数的整除性的知识，难度较大，关键是掌握满足条件的数的特征，然后有的放矢的进行解答．注意不要漏解．