Question

设a和n是正整数,a^2是2^2n-1的倍数,求证:a^2是2^2n的倍数.

Answer 1

证明：∵a^2是2^2n-1的倍数

∴设a=2^m (m>0的整数）

且a²=(2^m)²=2^(2m)是2^(2n-1)的倍数

∴2m≥2n-1

∴m≥n-1/2

∴m>n

∴设m=n+k(k≥0的整数）

∴a²=(2^m)²=2^(2m)=2^(2n+2k)=2^(2n)×2^(2k)

∵k≥0的整数

∴2^（2k)是整数

∴a²是2^(2n）的倍数