如图1,Rt△ABC和Rt△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,边AB和DE在同一直线上,且BC=BD.

1个回答

  • 解题思路:(1)欲证△ADC∽△ACE,可由有两组角对应相等的两个三角形相似得出;

    (2)求tan∠E的值,即求CD:CE,可以通过证明△ADC∽△ACE得出;

    (3)假设存在这样的x值,使得△PMN是等腰三角形.由于∠MPN>90°,那么只能MN是底边,即只可能PM=PN.由△PMB∽△ACB,得出PM:AC=PB:AB,则PM=

    12(5−x)

    13

    ;由△PNC∽△CDE,得出PN:CD=PC:CE,则PN=[2/3]x,解方程

    12(5−x)

    13

    =[2/3]x,得x=[90/31],因为[90/31]<5=BC,所以存在这样的x值.

    (1)△ADC∽△ACE,证明如下:

    ∵∠ACB=∠DCE=90°,

    ∴∠ACD+∠DCB=90°,∠CDB+∠E=90°.

    ∵BC=BD,

    ∴∠DCB=∠CDB.

    ∴∠ACD=∠E.

    ∵∠A=∠A,

    ∴△ADC∽△ACE.

    (2)∵∠DCE=90°,

    ∴∠CDB+∠E=90°,∠BCE+∠DCB=90°.

    ∵∠DCB=∠CDB,

    ∴∠BCE=∠E.

    ∴BC=BE=5.

    在Rt△ABC中,AB=

    AC2+BC2=

    122+52=13,

    ∴AE=AB+BE=13+5=18

    ∵△ADC∽△ACE,

    ∴[CD/EC=

    AC

    AE=

    12

    18=

    2

    3].

    ∴在Rt△CDE中,tan∠E=[CD/EC=

    2

    3].

    (3)当x=[90/31]时,PM=PN.

    点评:

    本题考点: 等腰三角形的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题难度中等,考查相似三角形的判定和性质.