解题思路:(1)欲证△ADC∽△ACE,可由有两组角对应相等的两个三角形相似得出;
(2)求tan∠E的值,即求CD:CE,可以通过证明△ADC∽△ACE得出;
(3)假设存在这样的x值,使得△PMN是等腰三角形.由于∠MPN>90°,那么只能MN是底边,即只可能PM=PN.由△PMB∽△ACB,得出PM:AC=PB:AB,则PM=
12(5−x)
13
;由△PNC∽△CDE,得出PN:CD=PC:CE,则PN=[2/3]x,解方程
12(5−x)
13
=[2/3]x,得x=[90/31],因为[90/31]<5=BC,所以存在这样的x值.
(1)△ADC∽△ACE,证明如下:
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,∠CDB+∠E=90°.
∵BC=BD,
∴∠DCB=∠CDB.
∴∠ACD=∠E.
∵∠A=∠A,
∴△ADC∽△ACE.
(2)∵∠DCE=90°,
∴∠CDB+∠E=90°,∠BCE+∠DCB=90°.
∵∠DCB=∠CDB,
∴∠BCE=∠E.
∴BC=BE=5.
在Rt△ABC中,AB=
AC2+BC2=
122+52=13,
∴AE=AB+BE=13+5=18
∵△ADC∽△ACE,
∴[CD/EC=
AC
AE=
12
18=
2
3].
∴在Rt△CDE中,tan∠E=[CD/EC=
2
3].
(3)当x=[90/31]时,PM=PN.
点评:
本题考点: 等腰三角形的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 本题难度中等,考查相似三角形的判定和性质.