四边形mnfg是菱形
证明：连接dc,be,设dc于be相交于o,dc与mn相交于p
因为三角形abd是等边三角形
所以ad=ab
角dab=60度
因为三角形ace是等边三角形
所以ae=ac
角eac=60度
因为角dac=角dab＋角bac=60+角bac
角bae=角bac+角eac=60+角bac
所以三角形dac和三角形bae全等（SAS)
所以dc=be
角oda=角oba
所以a,d,b,o四点共圆
所以角dab=角dob
所以角dob=60度
因为角dob+角doe=180度
所以角doe=120度
因为角doe=角boc
所以角boc=120度
因为m,n,f,g分别是bc ,ce ,ed ,db上的中点
所以gm ,mn ,nf ,fg分别是三角形dbc,三角形bce,三角形dce,和三角形bde的中位线
所以gm=1/2dc
gm平行dc
所以角gmn+角mpo=180度
mn=1/2be
mn平行be
所以角boc+角mpo=180度
nf=1/2dc
fg=1/2be
所以gm=mn=nf=fg
所以四边形mnfg是菱形
角mpo=180-120=60度
角gmn=180-60=120度
所以角gmn=120度