解题思路：本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．
解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3
（1）在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=AD=2而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，
∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．由
题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE，又BE∩EF=E（2）
∴A1E⊥平面BEF，
即A1E⊥平面BEP
（3）在图2中，A1E不垂直A1B，
∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP，
∴A1E⊥BE．
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q．
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，
∴△EBP是等边三角形．又A1E⊥平面BEP，
∴A1B=A1P，
∴Q为BP的中点，且EQ＝
3，又A1E=1，
在Rt△A1EQ中，tan∠EA1Q＝
EQ
A1E＝
3，
∴∠EA1Q=60°，
∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60°
在图3中，过F作FM⊥A1P与M，连接QM，QF，
∵CP=CF=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1．有PQ＝
1
2BP＝1
∴PF=PQ①，
∵A1E⊥平面BEP，EQ＝EF＝
3
∴A1E=A1Q，
∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②，
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角．
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，又∴A1P＝
5．
∵MQ⊥A1P，∴MQ＝
A1Q•PQ
A1P＝
2
点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．
考点点评： 在立体几何学习中，我们要多培养空间想象能力，对于图形的翻折问题，关健是利用翻折前后的不变量，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一．是高考数学必考的知识点之一．作，证，解，是我们求二面角的三步骤．作：作出所要求的二面角，证：证明这是我们所求二面角，并将这个二面角进行平面化，置于一个三角形中，最好是直角三角形，利用我们解三角形的知识求二面角的平面角．向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度，不过在向量运用过程中，要首先要建系，建系要建得合理，最好依托题目的图形，坐标才会容易求得．