Question

(课129 4) 已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项的和,求证S1,S14-S7,S21-S14成等比数列,设k

Answer 1

题目中是S(7)而不是S(1)吧,

S(3k)=a(1)×[1-q^(3k)]/(1-q)

S(2k)=a(1)×[1-q^(2k)]/(1-q)

S(k)=a(1)×[1-q^k]/(1-q)

所以

S(3k)-S(2k)

=[a(1)/(1-q)]×[1-q^(3k)-1+q(2k)]

=[a(1)/(1-q)]×(q^2k)×(1-q^k)；

S(2k)-S(k)

=[a(1)/(1-q)]×[1-q^(2k)-1+q(k)]

=[a(1)/(1-q)]×(q^k)×(1-q^k)；

所以

[S(3k)-S(2k)]/[S(2k)-S(k)]=q^k；

[S(2k)-S(k)]/[S(k)]=q^k

可见,S(k)、S(2k)-S(k)、S(3k)-S(2k)是成等比数列的,且公比为q^k.