Question

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；

（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．

（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，

∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，

∴sinB=cosB，即tanB=1，

∵B为三角形的内角，

∴B=[π/4]；

（Ⅱ）S_△ABC=[1/2]acsinB=

2

4ac，

由已知及余弦定理得：4=a²+c²-2accos[π/4]≥2ac-2ac×

2

2，

整理得：ac≤

4

2−

2，当且仅当a=c时，等号成立，

则△ABC面积的最大值为[1/2]×

2

2×

4

2−

2=[1/2]×

点评：

本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．