(2013•牡丹江一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,其中PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,Q

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  • 解题思路:(1)连接BD,等边三角形PAD中,中线PQ⊥AD;因为菱形ABCD中∠BAD=60°,所以AD⊥BQ,最后由线面垂直的判定定理即可证出AD⊥平面PQB;

    (2)连接QC,作MH⊥QC于H.因为平面PAD⊥平面ABCD,PQ⊥AD,结合面面垂直性质定理证出PQ⊥平面ABCD.而平面PQC中,PQ∥MH,可得MH⊥平面ABCD,即MH就是四棱锥M-ABCD的高线.最后利用锥体体积公式结合题中数据即可算出四棱锥M-ABCD的体积.

    (1)连接BD

    ∵PA=PD=AD=2,Q为AD的中点,

    ∴PQ⊥AD

    又∵∠BAD=60°,底面ABCD为菱形,

    ∴△ABD是等边三角形,

    ∵Q为AD的中点,∴AD⊥BQ

    ∵PQ、BQ是平面PQB内的相交直线,∴AD⊥平面PQB.

    (2)连接QC,作MH⊥QC于H.

    ∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD

    ∴PQ⊥平面ABCD,结合QC⊂平面ABCD,可得PQ⊥QC

    ∵平面PQC中,MH⊥QC且PQ⊥QC,

    ∴PQ∥MH,可得MH⊥平面ABCD,即MH就是四棱锥M-ABCD的高线

    ∵PM=

    1

    2PC,可得MH=

    1

    2PQ=

    1

    3

    2×2=

    3

    2,

    ∴四棱锥M-ABCD的体积为VM-ABCD=

    1

    1

    2AC×BD×MH=

    1

    6×2×2

    3

    2=1.

    点评:

    本题考点: 平面与平面垂直的性质;直线与平面垂直的判定.

    考点点评: 本题给出特殊四棱锥,求证线面垂直并求锥体体积,着重考查了直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识,属于中档题.