如果实数a、b、c满足a+2b+3c=12,且a2+b2+c2=ab+ac+bc,则代数值a+b2+c3的值为_____

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  • 解题思路:首先将a2+b2+c2=ab+ac+bc式子左右两边同乘以2,移项、拆分项、利用完全平方式转化为(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0.再根据非负数的性质得出a=b=c的关系.再结合a+2b+3c=12,求得a、b、c的值.最后将a、b、c的值代入a+b2+c3求得结果.

    ∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,

    ⇒2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,

    ⇒(a2-2ab+b2)+(a-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)=0,

    ⇒(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,

    ∴a-b=0、a-c=0、b-c=0,即a=b=c,

    又∵a+2b+3c=12,

    ∴a=b=c=2,

    ∴a+b2+c3=2+4+8=14.

    故答案为:14.

    点评:

    本题考点: 因式分解的应用;非负数的性质:偶次方;代数式求值.

    考点点评: 本题考查因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质.解决本题的关键是以a2+b2+c2=ab+ac+bc作为入手点,通过变换得到ab、c间的关系.