解题思路：首先将a2+b2+c2=ab+ac+bc式子左右两边同乘以2，移项、拆分项、利用完全平方式转化为（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0．再根据非负数的性质得出a=b=c的关系．再结合a+2b+3c=12，求得a、b、c的值．最后将a、b、c的值代入a+b2+c3求得结果．
∵a2+b2+c2=ab+ac+bc，
⇒2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，
⇒（a2-2ab+b2）+（a-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0，
⇒（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，
∴a-b=0、a-c=0、b-c=0，即a=b=c，
又∵a+2b+3c=12，
∴a=b=c=2，
∴a+b2+c3=2+4+8=14．
故答案为：14．
点评：
本题考点： 因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；代数式求值．
考点点评： 本题考查因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质．解决本题的关键是以a2+b2+c2=ab+ac+bc作为入手点，通过变换得到ab、c间的关系．