①∵BC 1∥ AD 1,BC 1⊄平面ACD 1,而AD 1⊂平面ACD 1,∴BC 1∥ 平面ACD 1.因此P在直线BC 1上运动时,点P到平面ACD 1的距离不变,三棱锥P-ACD 1即A-D 1PC的体积不变,正确;
②P在直线BC 1上运动时,二面角BC 1-AD 1-C大小不变,即二面角P-AD 1-C的大小不变,正确;
③由①可知:P在直线BC 1上运动时,点P到平面ACD 1的距离h不变,而AP随着点P的变化而变化,设AP与平面ACD 1所成的角为θ,
则 sinθ=
h
AP 随着AP的改变而改变,因此不正确;
④距离如图所示的空间直角坐标系,设M(x,y,0),不妨设D 1A 1=1,则C 1(0,1,0),D(0,0,1).
∵|MD|=|MC 1|,∴
x 2 + y 2 +1 =
x 2 +(y-1 ) 2 ,解得y=0.
∴点M(x,0,0).
则M点必在直线A 1D 1上.因此正确.
综上可知:正确命题是①②④.
故答案为①②④.