Question

已知1≤x2+y2≤2，则x2+xy+y2的取值范围______．

Answer 1

解题思路：令x=asinθ，y=acosθ，t=x²+xy+y²，则有1≤x²+y²≤2，可得a的范围，进而化简t=x²+xy+y²可得t=（1+[1/2]sin2θ）a²，

由三角函数的性质，可得1+[1/2]sin2θ的范围，计算可得答案．

令x=asinθ，y=acosθ，t=x²+xy+y²，

则有1≤x²+y²≤2，可得1≤a≤

2，

进而可得，t=x²+xy+y²=a²+a²sinθcosθ=（1+[1/2]sin2θ）a²，

由三角函数的性质，可得[1/2]≤（1+[1/2]sin2θ）≤[3/2]，

故[1/2]≤t≤3，

故答案为[[1/2]，3]．

点评：

本题考点： 不等式．

考点点评： 本题考查换元法在不等式中的应用，常见的换元方法有三角换元，要结合三角函数进行分析．