Question

已知：如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°,BC＞BA,求证：点D在线段AC的垂直平分线上

Answer 1

证明:

连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°

则△ACD是等边三角形.

过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE

则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60°

∴△BCE是正三角形,

又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°

∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°

∴∠ACE=∠DCB

又DC=AC,BC=CE

所以△DCB≌△ACE

所以AE=BD

在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2

即BD^2=AB^2＋BC^2