Question

命题函数f（x）=sin（ωx+Φ）（ω＞0）是偶函数的充要条件是Φ＝kπ＋π/2（k∈Z）是真命题,为什么

Answer 1

先证充分性：

当φ=kπ+π/2(k∈Z)

f(x)=sin(ωx+kπ+π/2)

=coswx=cos(-wx) 即证

再证必要性：

f(x)=f(-x)

sin(ωx+φ)=sin(-ωx+φ)

sin(ωx+φ)+sin(-ωx+φ)=0

2sinφcoswx=0

sinφ=0 所以φ=kπ+π/2(k∈Z)

即证