Question

已知数列{an}中，a1＝56，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N+，n≥2）

Answer 1

解题思路：根据韦达定理分别求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，进而求得a_n=[1/3]a_n-1+[1/3]，从而可推知

a

n

−

1

2

a

n−1

−

1

2

为定值，由此得数列{a_n-[1/2]}为等比数列，根据等比数列的通项公式进而可得a_n，再根据等比数列的求和公式，求得S_n．

由题意，∵α+β=

an

an−1，αβ=[1

an−1代入3α-αβ+3β=1得a_n=

1/3]a_n-1+[1/3]，

∴

an−

1

2

an−1−

1

2=

1

3an−1+

1

3−

1

2

an−1−

1

2=[1/3]为定值．

∴数列{a_n-[1/2]}是等比数列．

∵a₁-[1/2]=[5/6]-[1/2]=[1/3]，

∴a_n-[1/2]=[1/3]×（ [1/3]）^n-1=（ [1/3]）ⁿ．

∴a_n=（ [1/3]）ⁿ+[1/2]．

∴S_n=（ [1/3]+[1

32++

1

3n）+

n/2]=

点评：

本题考点： 根与系数的关系；数列的求和．

考点点评： 本题以方程的根与系数为载体，考查了等比数列的性质，考查构造法的运用，属基础题．