解题思路:(1)过O作OF⊥AC,于F,则F为AC的中点,连接CH,取CH中点N,连接FN,MN,得出平行四边形OMNF,即可得出答案.
(2)根据圆周角定理求出∠BOM,根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可.
证明:(1)
过O作OF⊥AC,于F,
则F为AC的中点,
连接CH,取CH中点N,连接FN,MN,
则FN∥AD,AH=2FN,MN∥BE,
∵AD⊥BC,OM⊥BC,BE⊥AC,OF⊥AC,
∴OM∥AD,BE∥OF,
∵M为BC中点,N为CH中点,
∴MN∥BE,
∴OM∥FN,MN∥OF,
∴四边形OMNF是平行四边形,
∴OM=FN,
∵AH=2FN,
∴AH=2OM.
(2)证明:连接OB,OC,
∵∠BAC=60°,
∴∠BOC=120°,
∴∠BOM=60°,
∴∠OBM=30°,
∴OB=2OM=AH=AO,
即AH=AO.
点评:
本题考点: 三角形的外接圆与外心;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;平行四边形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理.
考点点评: 本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理、含30度角的直角三角形性质、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点,题目综合性较强,有一定的难度,但题型较好,难点是如何作辅助线.