如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线C

4个回答

  • 解题思路:(1)由于∠AEF是直角,则∠BAE和∠FEC同为∠AEB的余角,由此得证;

    (2)根据正方形的性质,易证得AG=EC,∠AGE=∠ECF=135°;再加上(1)得出的相等角,可由ASA判定两个三角形全等;

    (3)在Rt△ABE中,根据勾股定理易求得AE2;由(2)的全等三角形知:AE=EF,即△AEF是等腰Rt△,因此其面积为AE2的一半,由此得解.

    (1)证明:∵∠AEF=90°,

    ∴∠FEC+∠AEB=90°;(1分)

    在Rt△ABE中,∠AEB+∠BAE=90°,

    ∴∠BAE=∠FEC;(3分)

    (2)证明:∵G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,

    ∴AG=GB=BE=EC,且∠AGE=180°-45°=135°;

    又∵CF是∠DCH的平分线,

    ∠ECF=90°+45°=135°;(4分)

    在△AGE和△ECF中,

    AG=EC

    ∠AGE=∠ECF=135o

    ∠GAE=∠FEC;

    ∴△AGE≌△ECF;(6分)

    (3)由△AGE≌△ECF,得AE=EF;

    又∵∠AEF=90°,

    ∴△AEF是等腰直角三角形;(7分)

    ∵AB=a,E为BC中点,

    ∴BE=[1/2]BC=[1/2]AB=[1/2]a,

    根据勾股定理得:AE=

    a2+(

    1

    2a)2=

    5

    2a,

    ∴S△AEF=[5/8]a2.(9分)

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

    考点点评: 此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等;综合性较强,难度适中.