按照两个集合相等的证明方法,证明两边互相包含.
任取x∈f(A),则存在z∈A,使得x=f(z).因为z∈A,所以z∈X且z=g(f(z)).
由x=f(z)知x∈Y.
又x=f(z)=f(g(f(z))=f(g(x)).
所以x∈B.
所以f(A)包含于B.
任取y∈B,则y∈Y且y=f(g(y)).记u=g(y),则y=f(u).下面证明u∈A.
由u=g(y)知u∈X.
又u=g(y)=g((f(u)).
所以u∈A,所以y=f(u)∈f(A).
所以B包含于f(A).
所以f(A)=B.