Question

设Ω是由曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所围成的有界闭区域，求Ω的体积．

Answer 1

解题思路：首先，求出Ω在xoy面的投影；然后将Ω的体积转化为三重积分计算即可．

由于曲面z=2-x²-y²及z=x²+y²所的交线是x²+y²=1，因此

Ω在xOy面上的投影区域为D：x²+y²≤1

∴Ω的体积为

V＝

∭

Ωdv＝

∫2π0dθ

∫10ρdρ

∫2−ρ2ρ2dz

=

∫ 2π 0dθ

∫ 1 0(2−2ρ2)ρdρ

=2π[ρ2−

ρ4

2]

10=π．

点评：

本题考点： 三重积分的计算．

考点点评： 此题考查三重积分在柱面坐标系下的计算，但首先要找到积分函数和积分区域．