Question

函数f（x）定义域D（非零实数集）对于任何非零实数x,y均有f（xy）=f（x）+f（y）且

Answer 1

f(1*1)=f(1)＋f(1),

所以f(1)=0；

对任意的非零实数x,

f(x+Δx)=f(x(1+Δx/x))=f(x)＋f(1+Δx/x),

所以f(x+Δx)-f(x)=f(1+Δx/x)=f(1+Δx/x)-f(1)

[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=[f(1+Δx/x)-f(1)]/Δx=(1/x)[f(1+Δx/x)-f(1)]/(Δx/x),所以

lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

=lim(Δx→0)(1/x)[f(1+Δx/x)-f(1)]/(Δx/x)

=f´(1)/x

=2/x

所以,f(x)在D上可导,且f´(x)=2/x.