Question

如图等腰直角三角形abc和等腰直角三角形edb,ac=bc,de=bd,角acb=角edb=90°,p为ae的中点.（1

Answer 1

1）PC⊥PD,PC=PD；2）△PCF是等腰三角形

证明：

过点E作EF⊥BC交BC于点F,连接PF

因为：RT△ACB和RT△EDB都是等腰RT△

所以：∠CAB=∠CBA=∠DEB=∠DBE=45°

所以：∠CBD=90°,DB⊥BC

所以：BDEF是正方形

所以：AB是DF的垂直平分线

所以：PD=PF

过点P作PM⊥BC交BC于点M

因为：AC⊥BC

所以：AC//PM//EF//BD

因为：P是AE中点

所以：PM是直角梯形ACFE的中位线

所以：M是CF的中点

所以：PM是△PCF的底边CF的垂直平分线

所以：PC=PF

故有：PC=PF=PD

因为：

PF=PD,PE=PE,EF=ED

所以：△PFE≌△PDE（SSS）

所以：∠FPE=∠DPE

因为：PM是∠CPF的平分线（等腰三角形顶角三线合一）

所以：∠CPM=∠FPM

因为：PM//AC,∠MPE=∠A=45°

所以：∠FPM+∠FPE=45°

所以：∠CPM+∠DPE=45°

以上两式相加：∠CPM+∠FPM+(∠FPE+∠DPE)=90°

即有：∠CPD=90°

所以：CP⊥PD

综上所述：

1）PC⊥PD,PC=PD；2）△PCF是等腰三角形.