Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM＝13AB1，BN＝13BC1，则下列结论①

Answer 1

解题思路：先把点M，N放入与平面A₁B₁C₁D₁平行的平面GFEH中，利用线面垂直的性质判断①正确，利用平行公理判断②错误，利用面面平行的性质判断③正确，利用面面平行以及线线垂直的性质判断④错误，就可得到结论．

解；

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的四条棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分别取点G，F，E，H四点，

使AG=[1/3]A₁A，BF=[1/3]B₁B，CE=[1/3]C₁C，DH=[1/3]D₁D，连接GF，FE，EH，HG，

∵点M、N分别在AB₁、BC₁上，且AM＝

1

3AB1，BN＝

1

3BC1，

∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，

∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面GFEH，∵MN⊂平面GFEH，∴AA₁⊥MN，∴①正确．

∵A₁C₁∥GE，而GE与MN不平行，∴A₁C₁与MN不平行，∴②错误．

∵平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，MN⊂平面GFEH，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，∴③正确．

∵B₁D₁∥FH，FH⊂平面GFEH，MN⊂平面GFEH，B₁D₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，

且MN与FH不平行，∴B₁D₁不可能垂直于MN，∴④错误

∴正确命题只有①③

故选C

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评： 本题主要考查立体几何中，线线，线面，面面平行与垂直性质的应用，考查了学生推论能力．空间想象力．